Если до этого всё там было непонятно по непонятному. То сейчас хотя бы стало понятно, что именно непонятно.
Итак, эффекты динамического хаоса могут наблюдаться в гамильтоновых консервативных системах. Вот какая мысль была для меня особо новой.
В частности, задача Эно-Эйлеса (ученые моделировали движение звезды в среднем поле галактики). Задача свелась к анализу движения частицы единичной массы с гамильтонианом с не очень уж устрашающим видом. Но тем не менее, задача не интегрируема, и решалась она численными методами. (Кстати, считается что гамильтонова система интегрируема только в том случае, если существует преобразование, приводящее к координатам Действие-Угол).
На рисунке из вышеуказанной книги даны отображения Пуанкаре для разных энергий.
И здесь самое интересное. При увеличении энергии система ведет себя всё более хаотично (видно что регулярных кривых становится всё меньше, тогда как количество точек, хаотически разбросанных по плоскости увеличивается) .Более того, дальнейшие исследования показали что и при малых энергиях существуют нерегулярные "случайные" фазовые траектории.
Т.е. гамильтонова система в общем случае имеет нерегулярное решение.
Далее, в параграфе приводится еще один пример. Но там уже используются принципы теории возмущения. Т.е. гамильтониан представляется в виде суммы H(a,J)= H'(J)+ e H''(a,J). Где a, J - переменные Действие-Угол, е - некоторый малый параметр возмущения. Так вот, при увеличении этого параметра, движение становится всё более хаотичным. Но тут уже всё не так просто. Если рассматривать характер деформации регулярных фазовых траекторий в зависимости от е, то здесь приходит на помощь теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера, формулировку которой авторы не приводят (формулировку не приводят, не то, что доказательство!), ввиду ее особой сложности. Я лично, уже боюсь и с трепетом буду ждать тех времен, когда можно будет на нее взглянуть без особого риска. Но дальше в параграфе всё не так страшно: В частности, чем система с двумя степенями свободы (n=2) качественно отличается от системы с n>2? Оказывается в случае фазового пространства (в переменных Действие-Угол) с n=2 (или меньше 2) фазовые траектории нерегулярного характера лежат в ограниченной области фазового объема, они как бы пойманы между двумя концентрическими торами. А при n>2 нерегулярные фазовые траектории ничем не ограничены, и образуют т.н. паутину Арнольда. В чем принципиальное различие - в книге объясняется.
Итак, у меня вопрос простой: Получается что, гамильтоновы системы обладают свойствами, которые приводят к динамическому хаосу? А где же детерминированность и прочее, присущее классической картине?
Или вопрос очевиден (вернее, ответ на него), или его формулировка не корректна. В любом случае, мне необходимо просто разобраться с понятием динамического хаоса, и возожно всё или что-то конкретное станет яснее.
Комментариев нет:
Отправить комментарий