Теорема Лиувилля (о сохранении фазового объема).

Как известно, теорема Лиувилля играет важную роль при изучении законов эволюции состояния макроскопических систем во времени. Целью этой записи является попытка разобраться в том, что понятно в теореме Лиувилля, а что не совсем понятно. Т.е. я не ставлю целью последовательно и логично изложить теорему Лиувилля, а лишь преследую попытку разобрать кое-какие ее детали.

Рассмотрим вывод теоремы (согласно учебнику Румер, Рывкин "Термодинамика. Статистическая физика и кинетика" - в указанном издании параграф 45 - "Г-пространство. Теорема Лиувилля").

Доступен здесь: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/RumerRyvkin1972ru.djvu

Как описывается состояние термодинамической системы?

Вводится понятие Г-пространтства - пространства размерности 2Nf. Пространство включает в себя Nf обобщенных координат и Nf обобщенных импульсов. Где N-число частиц в системе, f - число степеней свободы одной частицы. .
Следовательно, состояние всей системы изображается лишь одной точкой.

В чем состоит метод Гиббса?

С течением времени состояние системы эволюционирует и изображающая точка перемещается по фазовой тракетории, которая в случае замкнутой системы лежит на гиперповерхности постоянной энергии. (Вследствие замкнутости системы, ее энергия сохраняется, т.е. является интегралом движения, что дает нам уменьшение степени свободы системы на единицу).

Принципиальная основа метода Гиббса заключается в следующем. Рассмотрим избранную нами систему, погруженную во внешнюю среду (термостат). Благодаря взаимодействию со средой микросостояние системы будет изменяться с течением времени по весьма сложному закону. Ход этих изменений нас не интересует, нас интересует только макроскопическое состояние системы, а не микроскопическое состояние каждой ее частицы. О траектории мы можем сказать только то, что она уже не будет лежать на определенной гиперповерхности постоянной энергии (вследствие взаимодействия со средой). Далее вводится плотность вероятности (или функция распределения системы) обнаружить систему в окрестности заданной точки (p, q).

Если будем следить за изображающей точкой в фазовом пространстве и отмечать ее положения на фазовой траектории через малые промежутки времени, то совокупность этих мгновенных положений изображающей точки за достаточно большое время заполнит Г-пространство с вышеуказанной плотностью вероятности. Прием, предложенный Гиббсом, заключается в том, что вместо того, чтобы следить за движением одной изображающей точки с течением времени, мы представляем себе множество изображающих точек, распределенных в Г-пространстве с той же плотностью вероятности. Это значит, что мы должны представить себе множество экземпляров одной и той же физической системы, отличающихся только обобщенными координатами и импульсами в некоторый момент времени, который можно выбрать за начало отсчета t=0.

Т.е. вводится понятие статистического ансамбля и насколько я понял именно здесь и используется эргодическая гипотеза. Далее, мне лично непонятно следующее утверждение об экземплярах системы: Экземпляры системы могут иметь разные объемы и числа частиц, но погружены в одну и ту же среду. Насчет разных объемов всё понятно, но что имеется ввиду под разными числами частиц? Если мы "выбрасываем" экземпляры ансамбля с разными числами частиц, то значит мы подразумеваем то, что система (возвращаясь к описанию одной системы) эволюционирует таким образом, что меняется число частиц. Мне приходят на ум лишь химические реакции.
(Кстати, вышеуказанная цитата отстутсвует в издании 1972 года, ссылку на которое я дал, я же работаю с учебником 1977 года. В более старом учебнике отчетливо поясняется, что экземпляры не отличаются числом частиц и объемом, и все они дружно погружены в один и тот же термостат. Такой ансамбль называется каноническим ансамблем Гиббса).

Далее, очевидно что, каждая изображающая точка, описывающая состояние одного из экземляров ансамбля, движется по своей фазовой траектории. Исходя их того, что изображающие точки не рождаются и не исчезают - число экземпляров ансамбля постоянно, приходим к тому, что убыль за единицу времени числа точек в фиксированном объеме Г-пространства должна совпадать с потоком числа изображающих точек через границу объема Г. Т.е. мы должны прийти к уравнению непрерывности. Из уравнения непрерывности после несложных преобразований и учета уравнений Гамильтона получается теорема Лиувилля:



где u - вектор 2fN-мерной скорости изображающих точек. Кстати, градиент тоже 2fN-мерный.
Можно заметить, что левая часть есть полная поизводная по времени от плотности вероятности. Следовательно, теорема Лиувилля утверждает, что функция распределения остается постоянной вдоль динамических траекторий в Г-пространстве.

Что еще следует отметить?

В случае равновесных, а следовательно стационарных состояний, функция распределения постоянна в каждой точке, .

Здесь вопрос возникает следующий. Как я понял в этом случае есть эквивалентность между равенством нулю частной производной от плостности вероятности и утверждением о том, что функция распределения в каждой точке Г-пространства постоянна. Вопрос вот в чем: эта эквивалентность тоже есть следствие эргодической гипотезы?

Можно также отметить и показать, что функция распределения есть величина мультипликативная, а ее натуральный логарифм - величина аддитивная.

Что упущено и что не так?
Над этим предстоит поработать в ближайшие дни, и я планирую дополнить или изменить запись в соответствии с дальнейшими своими соображениями, и возможно, в соответствии с комментариями читателя.