Почему на встречных пучках?

Раньше ускорители были устроены так, что в них разогнанные частицы бомбардировали неподвижные мишени. Но на самом деле энергетически выгодно использовать ускорители на встречных пучках (коллайдеры), однако создание подобных ускорителей долгое время было невозможно по причине технических сложностей.
В настоящее же время коллайдеры активно используются в быту в физике высоких энергий. Почему выгоднее сталкивать два предварительно разогнанных пучка, а не бомбардировать неподвижную мишень?
Для ответа необходимо расчитать энергию в лабораторной системе отсчета (в формулах индекс L), которая эквивалента энергии в системе центра инерции (это та система, в которой две частицы налетают на покоящийся центр инерции)(в формулах индекс CM). Для этого используется понятие "релятивистский инвариант", т.е. инвариант содержащий энергию и импульс. Релятивистский инвариант ищется в системе центра инерции и приравнивается к инварианту в лабораторной системе:













В последней строчке получено численное значение энергии в лабораторной системе (в этой системе пучки не сталкиваются, а один пучок налетает на неподвижную протонную мишень) для пучков LHC (W=14 ТэВ). Очевидна колоссальная энергетическая выгода. В последней формуле знак "приближенно равно" от того, что пренебрегаем значениями энергий покоя протонов ввиду относительной малости этих энергий.

Кстати, если считать задачу классически, то выгода есть, но она не такая колоассальная, а именно, там мы получим кинетическую энергию налетающей частицы в лабораторной системе всего лишь в 2 раза большую, чем сумарную энергию частиц в системе центра инерции.

И напоследок о скорости протонов в LHC (просто для тренировки воображения):