Гамильтоновы системы и динамический хаос.

Разобравшись более или менее в простом вопросе классической теоретической механики - а именно, в канонических преобразованиях, приводящих к переменным Действие-Угол, вновь перечитал параграф 14 "Гамильтоновы системы" из книги Лоскутов, Михайлов "Введение в синергетику" (скачать можно здесь: http://books.prometey.org/download/15271.html (2.9 MB)).
Если до этого всё там было непонятно по непонятному. То сейчас хотя бы стало понятно, что именно непонятно.
Итак, эффекты динамического хаоса могут наблюдаться в гамильтоновых консервативных системах. Вот какая мысль была для меня особо новой.

В частности, задача Эно-Эйлеса (ученые моделировали движение звезды в среднем поле галактики). Задача свелась к анализу движения частицы единичной массы с гамильтонианом с не очень уж устрашающим видом. Но тем не менее, задача не интегрируема, и решалась она численными методами. (Кстати, считается что гамильтонова система интегрируема только в том случае, если существует преобразование, приводящее к координатам Действие-Угол).

На рисунке из вышеуказанной книги даны отображения Пуанкаре для разных энергий.



И здесь самое интересное. При увеличении энергии система ведет себя всё более хаотично (видно что регулярных кривых становится всё меньше, тогда как количество точек, хаотически разбросанных по плоскости увеличивается) .Более того, дальнейшие исследования показали что и при малых энергиях существуют нерегулярные "случайные" фазовые траектории.
Т.е. гамильтонова система в общем случае имеет нерегулярное решение.

Далее, в параграфе приводится еще один пример. Но там уже используются принципы теории возмущения. Т.е. гамильтониан представляется в виде суммы H(a,J)= H'(J)+ e H''(a,J). Где a, J - переменные Действие-Угол, е - некоторый малый параметр возмущения. Так вот, при увеличении этого параметра, движение становится всё более хаотичным. Но тут уже всё не так просто. Если рассматривать характер деформации регулярных фазовых траекторий в зависимости от е, то здесь приходит на помощь теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера, формулировку которой авторы не приводят (формулировку не приводят, не то, что доказательство!), ввиду ее особой сложности. Я лично, уже боюсь и с трепетом буду ждать тех времен, когда можно будет на нее взглянуть без особого риска. Но дальше в параграфе всё не так страшно: В частности, чем система с двумя степенями свободы (n=2) качественно отличается от системы с n>2? Оказывается в случае фазового пространства (в переменных Действие-Угол) с n=2 (или меньше 2) фазовые траектории нерегулярного характера лежат в ограниченной области фазового объема, они как бы пойманы между двумя концентрическими торами. А при n>2 нерегулярные фазовые траектории ничем не ограничены, и образуют т.н. паутину Арнольда. В чем принципиальное различие - в книге объясняется.

Итак, у меня вопрос простой: Получается что, гамильтоновы системы обладают свойствами, которые приводят к динамическому хаосу? А где же детерминированность и прочее, присущее классической картине?

Или вопрос очевиден (вернее, ответ на него), или его формулировка не корректна. В любом случае, мне необходимо просто разобраться с понятием динамического хаоса, и возожно всё или что-то конкретное станет яснее.

Делюсь статьёй. Nature. Song of the electroweak pinguin.

Как связаны пингвины и ассиметрия в распределении вещества и антивещества во Вселенной? Статья в Nature от 20 марта "Song of the electroweak penguin" именно об этом.
На самом деле, "пингвин" - лишь тип диаграммы Фейнмана.

Делюсь статьёй:

http://rapidshare.com/files/102790285/452293a.pdf.html (158 КБ)

Теорема Лиувилля (о сохранении фазового объема).

Как известно, теорема Лиувилля играет важную роль при изучении законов эволюции состояния макроскопических систем во времени. Целью этой записи является попытка разобраться в том, что понятно в теореме Лиувилля, а что не совсем понятно. Т.е. я не ставлю целью последовательно и логично изложить теорему Лиувилля, а лишь преследую попытку разобрать кое-какие ее детали.

Рассмотрим вывод теоремы (согласно учебнику Румер, Рывкин "Термодинамика. Статистическая физика и кинетика" - в указанном издании параграф 45 - "Г-пространство. Теорема Лиувилля").

Доступен здесь: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/RumerRyvkin1972ru.djvu

Как описывается состояние термодинамической системы?

Вводится понятие Г-пространтства - пространства размерности 2Nf. Пространство включает в себя Nf обобщенных координат и Nf обобщенных импульсов. Где N-число частиц в системе, f - число степеней свободы одной частицы. .
Следовательно, состояние всей системы изображается лишь одной точкой.

В чем состоит метод Гиббса?

С течением времени состояние системы эволюционирует и изображающая точка перемещается по фазовой тракетории, которая в случае замкнутой системы лежит на гиперповерхности постоянной энергии. (Вследствие замкнутости системы, ее энергия сохраняется, т.е. является интегралом движения, что дает нам уменьшение степени свободы системы на единицу).

Принципиальная основа метода Гиббса заключается в следующем. Рассмотрим избранную нами систему, погруженную во внешнюю среду (термостат). Благодаря взаимодействию со средой микросостояние системы будет изменяться с течением времени по весьма сложному закону. Ход этих изменений нас не интересует, нас интересует только макроскопическое состояние системы, а не микроскопическое состояние каждой ее частицы. О траектории мы можем сказать только то, что она уже не будет лежать на определенной гиперповерхности постоянной энергии (вследствие взаимодействия со средой). Далее вводится плотность вероятности (или функция распределения системы) обнаружить систему в окрестности заданной точки (p, q).

Если будем следить за изображающей точкой в фазовом пространстве и отмечать ее положения на фазовой траектории через малые промежутки времени, то совокупность этих мгновенных положений изображающей точки за достаточно большое время заполнит Г-пространство с вышеуказанной плотностью вероятности. Прием, предложенный Гиббсом, заключается в том, что вместо того, чтобы следить за движением одной изображающей точки с течением времени, мы представляем себе множество изображающих точек, распределенных в Г-пространстве с той же плотностью вероятности. Это значит, что мы должны представить себе множество экземпляров одной и той же физической системы, отличающихся только обобщенными координатами и импульсами в некоторый момент времени, который можно выбрать за начало отсчета t=0.

Т.е. вводится понятие статистического ансамбля и насколько я понял именно здесь и используется эргодическая гипотеза. Далее, мне лично непонятно следующее утверждение об экземплярах системы: Экземпляры системы могут иметь разные объемы и числа частиц, но погружены в одну и ту же среду. Насчет разных объемов всё понятно, но что имеется ввиду под разными числами частиц? Если мы "выбрасываем" экземпляры ансамбля с разными числами частиц, то значит мы подразумеваем то, что система (возвращаясь к описанию одной системы) эволюционирует таким образом, что меняется число частиц. Мне приходят на ум лишь химические реакции.
(Кстати, вышеуказанная цитата отстутсвует в издании 1972 года, ссылку на которое я дал, я же работаю с учебником 1977 года. В более старом учебнике отчетливо поясняется, что экземпляры не отличаются числом частиц и объемом, и все они дружно погружены в один и тот же термостат. Такой ансамбль называется каноническим ансамблем Гиббса).

Далее, очевидно что, каждая изображающая точка, описывающая состояние одного из экземляров ансамбля, движется по своей фазовой траектории. Исходя их того, что изображающие точки не рождаются и не исчезают - число экземпляров ансамбля постоянно, приходим к тому, что убыль за единицу времени числа точек в фиксированном объеме Г-пространства должна совпадать с потоком числа изображающих точек через границу объема Г. Т.е. мы должны прийти к уравнению непрерывности. Из уравнения непрерывности после несложных преобразований и учета уравнений Гамильтона получается теорема Лиувилля:



где u - вектор 2fN-мерной скорости изображающих точек. Кстати, градиент тоже 2fN-мерный.
Можно заметить, что левая часть есть полная поизводная по времени от плотности вероятности. Следовательно, теорема Лиувилля утверждает, что функция распределения остается постоянной вдоль динамических траекторий в Г-пространстве.

Что еще следует отметить?

В случае равновесных, а следовательно стационарных состояний, функция распределения постоянна в каждой точке, .

Здесь вопрос возникает следующий. Как я понял в этом случае есть эквивалентность между равенством нулю частной производной от плостности вероятности и утверждением о том, что функция распределения в каждой точке Г-пространства постоянна. Вопрос вот в чем: эта эквивалентность тоже есть следствие эргодической гипотезы?

Можно также отметить и показать, что функция распределения есть величина мультипликативная, а ее натуральный логарифм - величина аддитивная.

Что упущено и что не так?
Над этим предстоит поработать в ближайшие дни, и я планирую дополнить или изменить запись в соответствии с дальнейшими своими соображениями, и возможно, в соответствии с комментариями читателя.

amazing experiment

Удивительная новость в Physicsworld. Итальянские и австрийские физики регистрируют одиночные фотоны, которые испускаются лазером, отскакивают от спутника в космосе и возвращаются на Землю. Круто да?
В заметке также даются некоторые принципы квантовой коммуникации, для которой результаты подобных экспериментов и будут полезны.

“Not only have we shown that it is possible to detect single photons from a satellite, we have also demonstrated that we can do this using existing technology,”....

Фрагментарность знаний. Как её избежать?

Одной из главных причин, препятствующих целостному и глубокому пониманию физики, или скажем физической картины мира, является фрагментарность наших знаний. Т.е. зная лишь какие-то определенные разделы физики, или еще более узко - лишь определенные явления из определенных разделов, мы не способны составить полного понимания. И чем более отдалены "островки" наших знаний и чем меньше они по размерам, тем сложнее "перебросить мосты" между этими "островками". Мы не будем говорить о том, что значит понимать физику, но точно можно заявить, что для понимания физики необходимы обширные знания, т.е. отсутствие "островков" и наличие "материков".
Далее возникают несколько вопросов. В частности, что лучше обширный участок океана непознанного, заселенный повсюду мелкими островками (т.е. физик знает много чего из многих разделов этой науки, но знания не глубокие, и составить гармоничное описание очень сложно), или материк, покрывающий лишь часть океана (т.е. физик хорошо разбирается в каком-либо разделе науки, но плохо знает отдаленные от своей специальности разделы). Здесь конечно лучшее третье - материк, покрывающий практически весь океан, но понятное дело, что это случай из области фантастики. Так что, вопрос заключается в выборе между первым и вторым.
И еще один вопрос - если фрагментарность присутствует, то как с ней бороться?
Мне кажется, методика заключается в том, чтобы изучать разделы друг за другом, а не все вместе сразу. Но при этом изучать глубоко и досконально. Таким образом, затратив (значительное) количество времени, мы постепенно приходим к целостному знанию физики (ограничимся общей физикой, ибо специальная физика постоянно развивается, и там узкая специализация неизбежна). Далее, от целостного знания физики пытаемся перейти к ее пониманию (тут конечно эти два процесса не идут друга за другом, а являются практически одновременными).
Возможны другие пути устранения фрагментарности знаний. Возможно, ее нужно избегать с самого начала, но с другой стороны обширный кругозор на любом этапе образования тоже явление очень хорошее. В общем, есть о чем поразмышлять, и хорошо бы решить какому пути придерживаться.

Как ищут пятое измерение

Многие наверное уже слышали, удивились, и уже пытаются представить себе дополнительные измерения (extra-dimensions). Оказывается всего их у нас не четыре, и уж тем более не три, а как минимум десять, как того требует теория струн. Говорят, что дополнительные измерения имеют значение только на квантовом уровне, и можно сказать, что они "закручиваются" вокруг начала координат. Говорят даже, что Ю.В.Румер показал что, если допустить существование пятого измерения, то из этого предположения будут следовать некоторые квантовые закономерности. Понятно что сложно что-то во всем этом представить и тем более понять (не будучи специалистом в этой области). Но интересно знать какие опыты подтверждают существование дополнительных измерений.

В статье Searching For A Tiny New Dimension, Curled Up Like The Universe Before The Big Bang сайта ScienceDaily рассказывается о проекте, призванном косвенно доказать наличие пятого измерения. Суть такова, что существуют два радиотелескопа, которые призваны регистрировать излучение, характерное для схлопывания маленьких первородных (primordial) черных дыр. Эти маленькие черные дыры образовались в первые доли секунд после большого взрыва, от того они и первородные. Так вот, эти маленькие черные дыры испаряясь начинают как бы наматываться на пятое измерение, до тех пор пока не происходит маленький взрыв. Радиоизлучение от этого взрыва и должно регистрироваться детекторами. Для исключения посторонних всплесков радиотелескопов будет два.
Как я понял причиной всплеска может явиться не только указанный процесс, поэтому в общем исследователи будут пытаться зафиксировать хоть какие-либо процессы на расстоянии 300 световых лет с выделением высоких энергий в виде радиоволн.

Группа только начинает работать, поэтому результатов пока никаких.

Блог создан

Почему именно Blogspot?

Во-первых, отсутствие рекламы.
Во-вторых, крайне удобные настройки оформления и прочих параметров.
В третьих, Blogspot - проект от Google, а это, прежде всего, надежный сервис.

Ну конечно же, как физик, я должен проверить все эти утверждения на опыте.